%
%	gbb60166@gmail.com	https://unilab.gbb60166.jp/prekou/prekou.htm
%
% aspectratio= は 1610, 169, 149, 54, 32 の中から選べる（省略時は 43）
% C:\texlive\2024\texmf-dist\tex\latex\beamer\beamer.cls
%\documentclass[20pt,dvipdfmx,usepdftitle=false,hyperref={pdfpagemode=FullScreen},aspectratio=169]{beamer}
%\documentclass[20pt,dvipdfmx,usepdftitle=false,hyperref={pdfstartview={XYZ null null 8.00}},aspectratio=169]{beamer}
\documentclass[20pt,dvipdfmx,usepdftitle=false,aspectratio=169]{beamer}
% pdfの栞の字化けを防ぐ
%\AtBeginDvi{\special{pdf:tounicode EUC-UCS2}}
% テーマ
\usetheme{Copenhagen}
% navi. symbolsは目立たないが，dvipdfmxを使うと機能しないので非表示に
\setbeamertemplate{navigation symbols}{} 
\usepackage{bxdpx-beamer,pxjahyper,minijs}
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage{tkokugo,furikana,tsayusen,shiika,sfkanbun,jdkintou,plext}
\usepackage{type1cm}
\usepackage[deluxe]{otf}
%\usepackage{tikzsymbols}
%\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}%
\def\pgfsysdriver{pgfsys-dvipdfmx.def}%（graphicxパッケージを使用しない場合はこの行を有効に）
%\def\pgfsysdriver{pgfsys-dvips.def}%デフォルト
%\usepackage[e]{esvect}
\usepackage{tikz}%（これで、pgfとpgfforが読み込まれます。）
%\usepackage{tikz-3dplot}
%\usetikzlibrary{calc,arrows.meta}
%\usetikzlibrary{patterns,angles,intersections,backgrounds}
%\usepackage{animate}
%\usepackage{pgfplots}
%\pgfplotsset{compat=newest}
%\pgfplotsset{compat=newest, every axis/.append style={line width=1pt}}
%\PassOptionsToPackage{dvipdfmx}{graphicx}
\nofiles

\hypersetup{% Jul 18 2023
	pdftitle={プレ高数学科（LaTeX Beamer で汎用PDFプレゼンを作る）},
	pdfauthor={gbb60166@gmail.com},
	pdfsubject={https://unilab.gbb60166.jp/prekou/prekou.htm}
	}

% フォントはお好みで
%\usepackage{txfonts}

\mathversion{bold}
\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
\renewcommand{\seriesdefault}{bx}
\renewcommand{\kanjifamilydefault}{\gtdefault}
\renewcommand{\kanjiseriesdefault}{bx}
\setbeamerfont{title}{size=\normalsize,series=\bfseries}
\setbeamerfont{frametitle}{size=\normalsize,series=\bfseries}
\setbeamertemplate{frametitle}[default][center]
\usefonttheme{professionalfonts}

% 参考にしたURL
% http://windom.phys.hirosaki-u.ac.jp/fswiki/wiki.cgi?page=LaTeX+Beamer%A4%C7%A5%D7%A5%EC%A5%BC%A5%F3%A5%C6%A1%BC%A5%B7%A5%E7%A5%F3

\newcommand{\Slash}[1]{\ooalign{\hfil\kern-3pt／\hfil\crcr$#1$}}
\everymath{\displaystyle}

\newcommand{\maruwaku}[1]{\begin{tikzpicture}[scale=0.7, baseline={([yshift=-22pt] current bounding box.north)}]
\filldraw[color=CUDBlue, line width=1pt, rounded corners=2pt] (-0.1,0)--(2.1,0)--(2.1,1.1)--(-0.1,1.1)--cycle;
\draw(1,0.5) node[white]{#1};
\end{tikzpicture}
}

\setbeamersize{text margin left=5mm,text margin right=5mm}
\fboxrule=0.8pt

\makeatletter
\newcommand{\hooklen}[2]{\settowidth{\@tempdima}{\(#1\)}
%\advance\@tempdima by.3ex
% ↑ 数式モードで式の前後に入るスペースを制御したかったが、
%    難しいのでやめた。段々難解なコードになっているのでやめた方がよい？
\hbox to\@tempdima{\hfil \(#2\)\hfil}}
%■等号付き不等号 by 美文書作成入門
\newcommand{\myleqq}{\mathrel{\mathpalette\gl@align<}}
\newcommand{\mygeqq}{\mathrel{\mathpalette\gl@align>}}
\newcommand{\gl@align}[2]{\lower.6ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@
	\ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr}}}
\makeatother

% カラーユニバーサルデザインを調べたつもりだがあまり自信がありません
% http://www.fukushihoken.metro.tokyo.jp/kiban/machizukuri/kanren/color.files/colorudguideline.pdf
% http://jfly.iam.u-tokyo.ac.jp/colorset/

% ■ アクセントカラー小面積を目立たせる高彩度色
\definecolor{CUDRed}{RGB}{255,75,0}
\definecolor{CUDGreen}{RGB}{3,175,122}
\definecolor{CUDBlue}{RGB}{0,90,255}
\definecolor{CUDCyan}{RGB}{77,196,255}
\definecolor{CUDMagenta}{RGB}{153,0,153}
\definecolor{CUDYellow}{RGB}{255,241,0}
\definecolor{CUDBrown}{RGB}{128,64,0}

\definecolor{CUDOrange}{RGB}{246,170,0}

% ■ ベースカラー広い面積の塗り分けに用いる低・中彩度色
\definecolor{CUDPink}{RGB}{255,202,191}
\definecolor{CUDBrightGreen}{RGB}{119,217,168}
\definecolor{CUDLime}{RGB}{216,242,85}
\definecolor{CUDCream}{RGB}{255,255,128}
\definecolor{CUDBrightCyan}{RGB}{191,228,255}
%\definecolor{CUD}{RGB}{}%

\setbeamercolor{CUDBrightGreen}{fg=black,bg=CUDBrightGreen!50}
\setbeamercolor{CUDBrightCyan}{fg=black,bg=CUDBrightCyan}
\setbeamercolor{CUDCream}{fg=black,bg=CUDCream!75}

\newcommand{\myfrac}[2]{\mathchoice%■ 修正 Oct 8,2023
	{%\fontsize{20}{20}\selectfont%	\displaystyle
		\frac{\raisebox{-.6ex}{\(#1\)}}{\raisebox{.4ex}{\(#2\)}}}%
	{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}%	\textstyle
	{%\fontsize{13}{13}\selectfont%	\scriptstyle
		\frac{\raisebox{0ex}{\(#1\)}}{\raisebox{-.4ex}{\(#2\)}}}%
	{%\fontsize{11}{11}\selectfont%	\scriptscriptstyle
		\frac{\raisebox{0ex}{\(#1\)}}{\raisebox{-.4ex}{\(#2\)}}}%
	}


\begin{document}

\title{プレ高数学科}\author{gbb60166}

\fboxsep=1pt
%■ 本文と数式モードの間に挿入される空白スペース
%\mathsurround=0pt
%■ \( \log\log \)でlogとlogの間に挿入される細スペース（省略形は \,）
%\thinmuskip=3mu%■default
%■ \( a+b \)で+の前後に挿入される中スペース（省略形は \>）
%\medmuskip=4mu plus 2mu minus 4mu%■default
\medmuskip=1mu plus 1mu minus 1mu
%■ \( x=5 \)で=の前後に挿入される太スペース（省略形は \;）
%\thickmuskip=5mu plus 5mu%■default
\thickmuskip=3mu plus 2mu minus 2mu
% mu は math units の省略で長さの単位

%■ 新しいプラスマイナス記号を自作（TikZを利用）
\newcommand{\newpm}{\,\tikz[baseline=-0.1ex]
	\draw[line width=0.1ex,line cap=round](0,0)--++(0.6em,0)
					(0,0.8ex)--++(0.6em,0)
					(0.3em,0.25ex)--++(0,1.1ex);
	\,}
\newcommand{\ittan}{\begin{tikzpicture}[scale=0.7,
	baseline={([yshift=-21pt] current bounding box.north)}]
\filldraw[very thick,draw=CUDBlue,fill=CUDYellow,rounded corners=1pt]
	(0,0)--++(0.8,0)--++(0,0.8)--++(-0.8,0)--cycle;
\draw(0.4,0.4) node[CUDBlue]
	{\fontsize{7pt}{7pt}\selectfont
		\shortstack{一旦\\[-2pt]停止}};
\end{tikzpicture}
}
\newcommand{\noteq}{%
\,\rlap{$=$}\setbox0\hbox{$=$}\makebox[\the\wd0]{\hss\(\backslash\)\hss}\,
}
%　斜線（１文字を消す）x
\newcommand{\sshasen}{\kern-0.6em\tikz[baseline=2pt]
	\draw[line width=2pt, CUDRed](0,0.55)--++(0.5,-0.5);}

%■■■■■■■■■■■■■　テスト領域　■■■■■■■■■■■■■■


%\end{document}
%■■■■■■■■■■■■■　完成品　■■■■■■■■■■■■■■

\begin{frame}[t]
\frametitle{問題}
\ajKakko{1}\ 
\begin{minipage}[t]{0.9\textwidth}
\(n\)が整数のとき、次を証明しなさい。

\(n^2\)が\(5\)の倍数\hfill ならば\hfill \(n\)は\(5\)の倍数
\end{minipage}

\bigskip
\ajKakko{2}\ 
%\begin{minipage}[t]{0.9\textwidth}
\(\sqrt{5}\)は無理数であることを示しなさい。
%\end{minipage}

\bigskip
\ajKakko{3}\ 
\begin{minipage}[t]{0.9\textwidth}
\(a,b\)が有理数のとき、次を証明しなさい。

\( a+b\sqrt{5}=0 \)\hfill ならば\hfill \( a=0 \)かつ\( b=0 \)
\end{minipage}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\ajKakko{1}\quad\(n^2\)が\(5\)の倍数\quad ならば\quad
	\(n\)は\(5\)の倍数}
\vskip-1ex
\(n^2\)が\(5\)の倍数\quad を式で表すと\( n^2=5k\ (k\text{は整数}) \)と
なるが、これだと
\begin{eqnarray*}
\sqrt{n^2} &=& \newpm\sqrt{5k}\\
n \ &=&\newpm\sqrt{5k}
\end{eqnarray*}

となって証明が難しそうなので、対偶かな？と推測する。
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\ajKakko{1}\quad\(n^2\)が\(5\)の倍数\quad ならば\quad
	\(n\)は\(5\)の倍数}
\vskip-1ex
対偶の

\begin{beamercolorbox}[wd=\textwidth,ht=4.4ex,dp=0.4ex,shadow=true,
	rounded=true]{CUDCream}
\(n\)が\(5\)の倍数でない\quad ならば

\hfill\(n^2\)は\(5\)の倍数でない
\end{beamercolorbox}

の方が証明しやすそう。

\medskip
そこで
\( n=5k+1,~5k+2,~5k+3,~5k+4 \)の場合を調べる
（\(5\)の倍数でないならば、必ずこの\(4\)パターンのどれかになるからね…）
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\ajKakkoroman{1}\quad\(n=5k+1\)の場合}
\vskip-5ex
\begin{eqnarray*}
n^2 &=& \hooklen{25k^2+10k+1}{(5k+1)^2} \\
	&=& 25k^2+10k+1 \\
	&=& 5\,(5k^2+2k)+1
\end{eqnarray*}
となるので
\centerline{\(n^2\)は\(5\)の倍数ではない}

\medskip
ことが証明できた（\(5\)で割ると、あまりが\(1\)）
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\ajKakkoroman{2}\quad\(n=5k+2\)の場合}
\vskip-5ex
\begin{eqnarray*}
n^2 &=& \hooklen{25k^2+20k+4}{(5k+2)^2} \\
	&=& 25k^2+20k+4 \\
	&=& 5\,(5k^2+4k)+4
\end{eqnarray*}
となるので
\centerline{\(n^2\)は\(5\)の倍数ではない}

\medskip
ことが証明できた（\(5\)で割ると、あまりが\(4\)）
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\ajKakkoroman{3}\quad\(n=5k+3\)の場合}
\vskip-5ex
\begin{eqnarray*}
n^2 &=& \hooklen{25k^2+30k+9}{(5k+3)^2} \\
	&=& 25k^2+30k+9 \\
	&=& 5\,(5k^2+6k+1)+4
\end{eqnarray*}
となるので
\centerline{\(n^2\)は\(5\)の倍数ではない}

\medskip
ことが証明できた（\(5\)で割ると、あまりが\(4\)）
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\ajKakkoroman{4}\quad\(n=5k+4\)の場合}
\vskip-5ex
\begin{eqnarray*}
n^2 &=& \hooklen{25k^2+40k+16}{(5k+4)^2} \\
	&=& 25k^2+40k+16 \\
	&=& 5\,(5k^2+8k+3)+1
\end{eqnarray*}
となるので
\centerline{\(n^2\)は\(5\)の倍数ではない}

\medskip
ことが証明できた（\(5\)で割ると、あまりが\(1\)）
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\ajKakko{1}\quad\(n^2\)が\(5\)の倍数\quad ならば\quad
	\(n\)は\(5\)の倍数}
対偶の

\medskip
\begin{beamercolorbox}[wd=\textwidth,ht=4.4ex,dp=0.4ex,shadow=true,
	rounded=true]{CUDCream}
\(n\)が\(5\)の倍数でない\quad ならば

\hfill\(n^2\)は\(5\)の倍数でない
\end{beamercolorbox}

\bigskip
が真なので、元の命題も真である。{\scriptsize （証明終わり）}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\ajKakko{2}\quad\(\sqrt{5}\)は無理数であることを示しなさい}
\only<1>{\ajRightHand\ 背理法で証明する\\[2ex]
	\ajRightHand\ \ajKakko{1}\ を利用する可能性あり

	\quad （誘導問題といいます）
	}
\only<2>{\( \sqrt{5} \)が有理数と仮定すると

	\bigskip
	\centerline{\( \sqrt{5}=\myfrac{\,p\,}{q}\quad
	\text{\small\((p,q\)は互いに素の整数で\(p>0,~q>0)\)}\)}

	\medskip
	と表せる。よって
}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\ajKakko{2}\quad\(\sqrt{5}\)は無理数であることを示しなさい}
\vskip-5ex
\begin{eqnarray*}
\sqrt{5} &=& \myfrac{\,p\,}{q}\\
\hooklen{(\sqrt{5}q)^2}{\sqrt{5}q} &=& p\\
(\sqrt{5}q)^2 &=& p^2\\
\sqrt{5}^{\kern0.2em 2}q^2 &=& p^2\\
5q^2 &=& p^2 \quad\ittan
\end{eqnarray*}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\( 5q^2=p^2 \)ですよ！}
\( 5q^2=p^2 \)ということは
\textcolor{CUDRed}{\(p^2\)は\(5\)の倍数}なので、
さっき\ \ajKakko{1}\ で証明したことより
\textcolor{CUDRed}{\(p\)は\(5\)の倍数}となる。

\bigskip
だから\( p=5k\ (k\text{は正の整数}) \)とおくと、
先ほどの式\( 5q^2=p^2 \)に代入して
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\( p=5k \)を代入\qquad\( 5q^2=p^2 \)ですよ！}
\vskip-5ex
\begin{eqnarray*}
5q^2 &=& \hooklen{(5k)^2}{p^2} \\
5q^2 &=& (5k)^2 \\
5q^2 &=& 25k^2 \\
q^2 &=& 5k^2
\end{eqnarray*}

\textcolor{CUDRed}{\(q^2\)も\(5\)の倍数}なので、
さっき\ \ajKakko{1}\ で証明したことより
\textcolor{CUDRed}{\(q\)も\(5\)の倍数}となる。
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\( 5q^2=p^2 \)ですよ！}
\(p\)も\(q\)も\(5\)の倍数となって、\( p,~q \)は互いに素であることに矛盾する。

\vskip3ex
よって\( \sqrt{5} \)は無理数である。{\scriptsize （証明終わり）}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\ajKakko{3}\quad\( a+b\sqrt{5}=0 \)\quad ならば
	\quad \( a=0 \)かつ\( b=0 \)}
\only<1>{\ajRightHand\ 背理法で証明する\\[2ex]

	\ajRightHand\ \ajKakko{2}\ を利用する可能性あり
	}
\only<2>{\( b\noteq0 \)と仮定する。
\begin{eqnarray*}
a+b\sqrt{5} &=& 0 \\
b\sqrt{5} &=& -a \\
\myfrac{\,b\sshasen\sqrt{5}\,}{b\sshasen} &=& \myfrac{-a}{b} \\
\sqrt{5} &=& \myfrac{-a}{b}
\end{eqnarray*}
}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\ajKakko{3}\quad\( a+b\sqrt{5}=0 \)\quad ならば
	\quad \( a=0 \)かつ\( b=0 \)}
さっき\ \ajKakko{2}\ で証明したことより\( \sqrt{5} \)は無理数である。
しかし\( \myfrac{-a}{b} \)は有理数なので
\vskip-3ex
\begin{eqnarray*}
\sqrt{5} &=& \myfrac{-a}{b} \\
\text{\small 無理数} &=& \text{\small 有理数}
\end{eqnarray*}
となり矛盾するので\( b=0 \)である。
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}[t]
\frametitle{\ajKakko{3}\quad\( a+b\sqrt{5}=0 \)\quad ならば
	\quad \( a=0 \)かつ\( b=0 \)}
\( \textcolor{CUDRed}{b}=\textcolor{CUDRed}{0} \)を
\( a+\textcolor{CUDRed}{b}\sqrt{5}=0 \)に代入すると
\( a+\textcolor{CUDRed}{0}\sqrt{5}=0 \)となって\( a=0 \)になる。

\bigskip
よって\( a=0 \)かつ\( b=0 \)になる。{\scriptsize （証明終わり）}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\end{document}

